《孤注一掷》电影中凯利公式的数学建模与应用
电影《孤注一掷》是一部反诈骗犯罪片，在电影的开头，宣传反诈骗的警察给观众们科普了一个凯利公式，用于研究最佳的投资下注策略。在黑天鹅事件频发的背景下，规避风险便是投资者最关注的问题。对于证券交易市场的投资而言，风险资产与无风险资产仓位比例的控制是重点。对于A股市场的中观层面来说，仓位就是各行业或各风格之间的仓位结构。结合风险资产整体的仓位比例和中观的仓位结构，就形成了一个针对A股市场投资的仓位管理模型。本文利用《孤注一掷》电影中凯利公式的基本模型，从市场机构的金融工程研究出发，总结了凯利公式的各方面研究成果。通过模型假设和推导，给出了标准的凯利公式模型，利用标准的凯利公式模型证明其在A股市场中应用的有效性。进一步的通过对无分布假设下的凯利公式进行推导，得出了一般化的凯利公式模型。再利用二项分布下的标准凯利公式模型进行风险资产整体仓位的控制，最终将两个子策略结合，形成复合视角下的仓位管理策略。
电影《孤注一掷》是一部反诈骗犯罪片，该片讲述了一个郁郁不得志的程序员，一个渴望崭露头角的模特，皆因看似条件优渥的工作机会，决定出外闯荡淘金，却意外卷入了一场精心策划的网络骗局的故事。程序员潘生、模特安娜被海外高薪招聘吸引，出国淘金，却意外落入境外诈骗工厂的陷阱。为了离开，两人准备向赌徒阿天和其女友小雨下手，从他们身上套现、完成业绩。潘生与安娜能否逃过诈骗集团头目陆经理和阿才的残暴折磨。面对警察的跨国调查和追捕，他们又会何去何从？
其中：f为投注比，即投注额的本金占比(%)，b为投注可得的赔率(盈亏比或收益率=平均盈利/平均亏损)，p为胜率，即获胜概率。q为败率，也就是1 - p(胜率)。如赔率没优势，即b q / p，不建议下注。如赔率是负的，即b0，也就应下注到另外一边。另外，在输光或者翻倍的赌局下b=1，公式简化后：f=2p-1。
在概率论中，凯利公式（也称“凯利方程式”）是一个在期望净收益为正的独立重复赌局中，使本金的长期增长率最大化的投注策略。该公式于1956年由约翰·拉里·凯利（John Larry Kelly）在《贝尔系统技术期刊》中发表，可拿来计算每次游戏中应投注的资金比例。若赌局的期望净收益为零或为负，凯利公式给出的结论是不赌为赢。
凯利公式最早是由美国贝尔实验室的Kelly在其 1956年的论文《A New Interpretation of Information Rate》中提出来的。其主要思想是在任何独立且重复的游戏中，运用凯利公式的玩家拥有相对优势，即当游戏存在正的预期净收益时，通过运用凯利公式能计算出游戏在不同的机会上下注的资金比例。这个比例不但可以确保财富净值上涨的速度最大化，而且确保玩家不会破产。
凯利公式诞生后立即受到了许多著名学者和投资者的拥护。许多学者通过对初始模型的理论推导将凯利公式运用在了赌博、跑马、期货以及股票投资等所有的领域，充分的证明了凯利公式的适用性。在拥护凯利公式的众多学者中，最知名的莫过于Shannon和 Thorp两位科学家。其中Shannon是计算机的主要发明人之一，也是信息论的创始人，是凯利公式最坚定的支持者之一；Thorp是美国麻省理工学院数学教授、数学博士，被博彩界称为“赌神”和“21点之父”。其论文《The 21 Best Strategy》由Shannon推荐并刊登在美国《Proceedings of the National Academy of Sciences》上，此后30多年中，Thorp发表了多篇关于凯利公式的论文，是凯利公式应用推广的“鼻祖”，也是量化投资的元老级人物。
在拥护凯利公式的众多投资者中，最知名的就是“股神”沃伦巴菲特，在著名投资人Hagstrom的《巴菲特的投资组合》一书中论证了巴菲特是一个秘密使用凯利公式的投资者的观点。
假设当一个投资者找到一个合适的投资组合后，将这个固定的投资组合进行连续不断的重复博弈，期间不增加也不减少新的资金到这个投资组合中来。
假设该投资者的期望收益是在长期投资中实现投资收益的最大值，也就是说使用凯利公式给出的最优投资组合进行重复投资。
假设存在一个赌局，每名赌客都可以一直持续的进行赌博，并能在每一局游戏中押注任意金额。对赌客而言，在赌局中押中的次数为W，押错的次数为L。
当赌客押中时，押金退还并奖励赌客押金的a倍；当赌客押错时，则输掉全部押金。如果赌客在每一局游戏中都按固定比例押注，即每一次押注的金额都是当时全部本金的的f倍（f为比例）。当赌局进行了N次之后，赌客每一期资金总量的期望值E(R)应为:
在通过统计得出在赌局中的获胜次数W和失败次数L的条件下，赌客的最佳押注就在于选择最优的押注比例f，使得资金总量的期望值E(R)最大。随后将上述等式两端进行对数化处理，能够获得：
在真实的赌局中，由于获胜次数W、失败次数L以及押中的奖励金比例a均大于零，因此在上述式子中lnE(R)的二阶导数严格小于0，也就是说lnE(R)的函数图像随着f的增大先增后减。因此函数图像中当lnE(R)最大 时，可以得到最优的押注比例f，也就是说应满足lnE(R)的一阶导数等于零，即:
2023年9月10日星期日晚上，不努力工作的小花和不涨工资的小西在直播间玩掷骰子游戏。游戏规则如下：如果投掷到了奇数1、3、5，那么不努力工作的小花赢；反之，如果投掷到了偶数2、4、6，那么不涨工资的小西赢。
每次掷骰子游戏的下注资金是10元（约等于10/79 = 0.127花西子），如果游戏赢了就可以拿走30元（约等于30/79 = 0.380花西子），但是如果游戏输了就没有花西子拿。那么，对于不努力工作的小花和不涨工资的小西来说：
现在，不努力工作的小花有100元（约等于100/79 = 1.27花西子），根据著名的凯利公式计算：
结论是:在这种情况下，不努力工作的小花可以下注25元（约等于25/79 = 0.316花西子）试试手气是最优最合理的下注投资策略。
由于赌场中的每一局游戏都是独立事件，其概率没有连续性，而金融市场中每一次投资的结果是并不是随机独立事件，这与赌局本身有本质区别。市场的后一日的涨跌是有可能与前一日的涨跌相关，实际上金融市场是具有肥尾效应的。即从“长期投资”的角度来看，小概率事件必然发生，而且在真实的生活中，小概率事件发生的实际概率要远远的大于模型计算得出的理论概率。从风险的角度来看，投资者一旦遇到这一种肥尾效应，将会在短期承受极大的损失。
基于这个初始的凯利公式，可以推广到适用于金融市场的形式。当研究一个仓位配置策略的时候，该策略每一次交易都可以看作是一次赌局，而针对这些交易需要决策出最优的仓位，也就是赌局中的最佳押注比例。每次交易与赌局最大的不同点在于，当投资失败时，投资者不会一次性损失掉全部资金，而是损失投资所需成本的一部分，对应在赌局中也就是押注金额的一部分。
基于这一点对原模型做修改：对赌客而言，其押中的概率为w，押错的概率为l。当赌客押中时，押金退还，并奖励赌客押金的a倍；当赌客押错时，赌客损失押金的b倍，剩余的押金退还。
在这种条件下，当赌局进行了N次之后，赌客每一期资金总量的期望值可以表示为:
这样就将赌局中的凯利公式推广到了量化投资策略中对过去某一时间周期进行最优化仓位计算的凯利公式，其中w和l分别是确定的计算周期内某个时间维度下某一投资策略的上涨概率和下跌概率，a和b分别是策略盈利时的涨幅和策略损失时的跌幅。这也是最常见的标准凯利公式。
凯利公式能用来计算每次游戏中应投注的资金比例。若赌局的期望净收益为零或为负，凯利公式给出的结论是不赌为赢。本文首先论述了仓位管理在当前宏观环境下对于风险资产配置的意义，选取了凯利公式作为仓位管理策略研究的基础模型。通过对已有的研究成果的归纳总结，选取了对股价不做任何概率分布假设条件下的一般化的凯利公式，利用一般化凯利公式进行A股市场仓位管理的研究。本文分别将模型使用在宏观层面风险资产整体的仓位比例控制，以及中观层面行业和风格的仓位结构调整上，将二者结合形成了复合视角下基于凯利公式的仓位管理模型。进一步的针对模型回撤大的特点，运用了部分凯利公式、风险度量指标以及择时信号来优化和叠加，将当日的风险度量指标纳入到下一个交易日的投资组合构建当中，将计算得出的最优仓位比例结合凯利最优比例，形成多个仓位调节信号。最终形成了复合视角下基于改进的凯利公式的仓位管理模型。
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